Tareas veraniegas. Solución al Ejercicio 1.

Terminadas las vacaciones escolares, ha llegado el momento de dar respuesta a las tareas propuestas para el verano. Daré las respuestas espaciadas por si hay alguien interesado en encontrar posibles fallos o derivaciones de los problemas.

Empecemos, pues, con el primer ejercicio.

PROBLEMA 1.- Las diagonales de un cuadrilátero miden 30 y 40 metros y se cortan formando un ángulo de 30 grados. Halla la superficie del cuadrilátero.

SOLUCIÓN.-

La fórmula escolar de la superficie de un triángulo ABC es Sup(ABC)=Base·Altura/2, es decir, con la notación de la primera imagen: Sup(ABC)=AC·BD/2. Si recordamos trigonometría, tenemos que sen A= Cateto opuesto/Hipotenusa=BD/AB con lo que BD=AB·sen A, es decir, Sup(ABC)=AC·AB·sen A /2 lo que podemos parafrasear diciendo que la superficie de un triángulo es la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

Si dibujamos un paralelogramo cualesquiera, digamos EFGH y lo partimos por la mitad con la diagonal FH tenemos que los triángulos EFH y FGH tienen la misma superficie por lo que Sup(EFGH)=2·Sup(EFH)=2·EF·EH·senE/2= EF·EH·senE

Fijémonos ahora en la segunda imagen. Sea ABCD un cuadrilátero cualesquiera. Trazamos por cada vértice la recta paralela a la diagonal que no contiene a ese vértice. Obtenemos así el paralelogramo EFGH.

En este paralelogramo se observa que:

a) La superficie del paralelogramo EFGH es el doble que la del cuadrilátero ABCD (puesto que los triángulos que forman el cuadrilátero aparecen duplicados en el paralelogramo)

b) EF mide lo mismo que la diagonal del cuadrilátero AC y EH mide lo mismo que la diagonal del cuadrilátero BD.

c) El ángulo E es igual al ángulo en que se cortan las diagonales del cuadrilátero.

Por todo lo anterior tenemos que Sup(ABCD)=Sup(EFGH)/2=EF·EH·sen E/2=AC·BD·sen E/2.

Es decir, la superficie de un cuadrilátero es la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo con que se cortan.

Con los datos del ejercicio, Sup(ABCD)=30·40·sen30º/2=30·40·0’5/2=300 metros cuadrados.

Notas:

1.- Desconozco la razón por la que la utilísima fórmula de la superficie de un cuadrilátero expresada aquí no se da en secundaria y no aparece en ninguno de los libros que conozco. Me parece sencilla y elegante y nótese que la fórmula de la superficie del rombo no es sino un caso particular de esta.

2.- Si llamo “medida directa” a medir un lado o diagonal de un polígono o bien uno de sus ángulos, está claro que para calcular la superficie de un triángulo o un cuadrilátero se necesitan tres medidas directas. Es fácil ver que con seis medidas directas se puede calcular la superficie de cualquier pentágono o exágono pero desconozco si se puede conseguir con cinco o menos.

3.-Tengo otra manera de demostrar la fórmula de la superficie del cuadrilátero donde interviene más el álgebra que la geometría. Quizá a alguien pueda interesarle.