Tareas veraniegas. Solución al Ejercicio 2.

PROBLEMA 2.- Dados dos números, x, y, la media aritmética se define como A(x,y)=(x+y)/2; la media geométrica como G(x,y)=Raíz(x·y) y la media armónica como H(x,y)=2/(1/x+1/y)

Por ejemplo, A(3, 11)=(3+11)/2=7;

G(2, 50)=Raíz (2·50)=10;

H(2, 6)=2/(1/2+1/6)=3.

Se trata de encontrar el menor par de números enteros distintos (x,y) tales que su media aritmética, geométrica y armónica sean enteras.

SOLUCIÓN.-

Para los que sepan programar no les resultará difícil realizar un corto programa que les dará las soluciones más pequeñas a este problema: (10, 40) , (5,45), etcétera.

Comprobemos que, en efecto, (19, 40) es solución:

A(10, 40)=(10+40)/2=25

G(10,40)=Raíz(10·40)=20

H(10,40)=2/(1/10+1/40)=2/(5/40)=80/5=16

Es fácil demostrar que hay infinitos pares (x,y) que tienen medias aritméticas, geométricas y armónicas enteras.

La manera más trivial consiste en darse cuenta que estas tres medias son homogéneas. Es decir, que para cualesquiera tres números x,y, t se cumple que A(t·x,t·y)=t·A(x,y) y lo mismo para las otras medias.

Por tanto, si hacemos x=10, y=40 (nuestra solución) y t=3, por ejemplo, tenemos que

A(30,120)=A(3·10, 3·40)=3·A(10, 40)=3:25=75

y de la misma forma

G(30,120)=3·G(10,40)=3·20=60

H(30,120)=3·H(10,40)=3·16=48.

Hay una manera más elegante de obtener solucione a este problema. Partamos de dos números, x, y tales que su producto sea un cuadrado. Por ejemplo x=3, y=12. Tenemos que G(3, 12)=Raíz(36)=6. Así que ya tenemos que la media geométrica es entera. Pero desgraciadamente la media armónica no lo es pues H(3, 12)=2/(1/3+1/12)=2/(5/12)=24/5. Haciendo t=5, que es el denominador que nos aparece en la media aritmética, tenemos que si x'=5·x=15, y'=5·y=12=60 podemos comprobar que H(x',y')=5·H(x,y)=5·12/5=5. Es decir, hemos conseguido hacer la media armónica entera. Además G(x',y')=5·G(x,y)=5·6=30 y la media geométrica sigue siendo entera.

Respecto a la media aritmética, A(x',y')=(15+60)/2=75/2 no es entera. No nos desesperamos. Multiplicamos nuestra solución por 2 y entonces x''=30, y''=120 tendrá las tres medias enteras.