Tareas veraniegas

No he podido resistir la tentación de recopilar una serie de problemas para que algunos de mis lectores se entretengan este verano. No pienso ser tan arrogante como para decir que todos los problemas son originales pero sí puedo asegurar que no he visto ninguno de estos problemas en ningún libro de matemáticas.

Todos los problemas pueden resolverse con lo aprendido en Bachillerato y muchos de ellos, además de la solución cerrada matemática, pueden resolverse usando algún programa de ordenador o una hoja de cálculo.

He aquí mi tarea. Espero que os guste.

PROBLEMA 1.- Las diagonales de un cuadrilátero miden 30 y 40 metros y se cortan formando un ángulo de 30 grados. Halla la superficie del cuadrilátero.

PROBLEMA 2.- Dados dos números, x, y, la media aritmética se define como A(x,y)=(x+y)/2; la media geométrica como G(x,y)=Raíz(x·y) y la media armónica como H(x,y)=2/(1/x+1/y)

Por ejemplo, A(3, 11)=(3+11)/2=7;

G(2, 50)=Raíz (2·50)=10;

H(2, 6)=2/(1/2+1/6)=3.

Se trata de encontrar el menor par de números enteros distintos (x,y) tales que su media aritmética, geométrica y armónica sean enteras.

PROBLEMA 3.- A este problema le tengo cariño. Una alumna mía lo resolvió con catorce añitos y todavía recuerdo la emoción que sentí cuando lo hizo.

Si elegimos un número, por ejemplo, 2’34 y lo elevamos al cuadrado obtenemos 5’4756. En este caso el número tiene de parte fraccionaria 0’34 y su cuadrado de parte fraccionaria 0’4756. Otro ejemplo: si el número es 1’62 su cuadrado es 2’6244. En este caso las partes fraccionarias son 0’62 y 0’6244 y casi coinciden.

El problema trata de encontrar al menos diez número no enteros tales que las partes fraccionarias de él y de su cuadrado coincidan exactamente.

PROBLEMA 4.- Un persona adeuda 20.000 € Esta persona le promete a su deudor pagarle cada mes el 2% de su deuda en ese momento.

Es decir, el primer mes pagaría 400 €, y el segundo mes, puesto que su deuda sería de 20.000-400= 19.600€ pagaría 392 €. ¿Cuántos meses deben transcurrir para que se haya pagado el 70% de la deuda original?

PROBLEMA 5.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar en el tablero de ajedrez una torre blanca y una torre negra de forma que ninguna de ellas amenace a la otra?